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Hace unas semanas María Popova publicó un artículo en el que hablaba de los fractales y que denominaba con este titular un tanto extenso:

«El patrón dentro del patrón: fractales, el orden oculto bajo el caos y la historia del refugiado que revolucionó las matemáticas de la realidad».

El refugiado al que se refiere María es Benoît Mandelbrot (Varsovia -Polonia- 1924—Cambridge -Estados Unidos- de 2010),​ un matemático lituano-judío-polaco nacionalizado posteriormente tanto francés, como estadounidense y conocido por sus trabajos sobre los fractales.

¿Qué son los fractales?

Un fractal -término que se utiliza como sustantivo y adjetivo- es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus –el adjetivo del verbo frangere , «romper», que significa quebrado o fracturado. Si observamos la naturaleza, veremos que muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

La estructura fractal de un árbol

Los árboles son quizás la manifestación más tangible y encantadora de los fractales en la naturaleza

La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número racional mayor a su dimensión topológica.

Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente. Observó algo que puede sonar obvio:

«las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza no es suave, ni los rayos viajan en línea recta». –Fractal Geometry of Nature

Algunas características de los fractales

  • Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  • Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
  • Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
  • Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Algunos ejemplos de autosimilaridad

Autosimilaridad -las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño- que encontramos en:

  • Fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende solo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Romanesco (brécol)

Romanesco (brécol). La romicia es un ejemplo perfecto de un fractal en la naturaleza.

  • Conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Representación del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de tiempo de escape

Representación del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de tiempo de escape. El conjunto de Mandelbrot es considerado por muchos como el objeto más complejo de las matemáticas.

  • Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Paisaje fractal generado con el programa Terragen.

Paisaje fractal generado con el programa Terragen.

  • Pinturas fractales, algunos de ellos se utilizan para realizar el proceso denominado como decalcomanía.
    Asimismo, Jackson Pollock (1912-1956) creador del expresionismo abstracto, usaba grandes lienzos, en general colocados en el suelo, en los que aplicaba su técnica del ‘drip and splash’ (goteo y rociadura).
    Aunque su pintura pueda parecer aleatoria, en 1999 los científicos australianos Richard P. Taylor, Adam P. Micolich y David Jonas publicaron un artículo en la revista ‘Nature’ (‘Fractal analysis of Pollock’s drip paintings’), en el que se demostraba que estas pinturas respetaban el principio de autosimilitud y que sus cuadros tenían estructuras fractales, generadas por cómo escurría la pintura y por la configuración geométrica que seguían los regueros que lanzaba el pintor en sus recorridos alrededor del cuadro.
Jackson Pollock, white light, 1954.

Jackson Pollock, white light, 1954.

«En el ojo de la mente, un fractal es una forma de ver el infinito»

Benoît Mandelbrot y la Geometría Fractal

Como indicábamos al principio, Mandelbrot era un refugiado. El origen judío lituano de la familia les obligó a tener que se mudarse de Varsovia a París en 1936 y posteriormente, cuando los nazis avanzaron, también tuvieron que huir de París al pueblo de Tulle.

Estas dificultades hicieron que su escolaridad fuera irregular y discontinua. Afirmó que nunca había aprendido el alfabeto o, más significativamente, las tablas de multiplicar más allá del cinco. Aun así, tenía un don.

«Cuando París fue liberada, realizó y aprobó el examen de admisión oral y escrito para la École Normale y la École Polytechnique, a pesar de su falta de preparación. Entre otros elementos, la prueba contó con un examen de vestigios en el dibujo, y Mandelbrot descubrió una facilidad latente para copiar la Venus de Milo. En las secciones matemáticas de la prueba, ejercicios de álgebra formal y análisis integrado, logró ocultar su falta de entrenamiento con la ayuda de su intuición geométrica. Se había dado cuenta de que, dado un problema analítico, casi siempre podía pensar en él en términos de alguna forma en su mente. Dada una forma, podía encontrar formas de transformarla, alterando sus simetrías, haciéndola más armoniosa. A menudo, sus transformaciones condujeron directamente a una solución del problema análogo. En física y química, donde no podía aplicar la geometría, sacaba malas notas. Pero en matemáticas, preguntas que nunca podría haber respondido usando técnicas adecuadas se desvanecieron ante sus manipulaciones de formas.» James Gleick (Caos: la creación de una ciencia –Chaos: Making A New Science-)

La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión, de la que caracteriza a la geometría convencional.

Mandelbrot es considerado el principal responsable del auge de este campo de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, así como de su divulgación. A ello contribuyó el uso de una herramienta que se estaba popularizando en esa época, el ordenador.  El uso de ordenadores le permitió trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia -Gaston Julia descubrió estos últimos y desarrolló las matemáticas de los fractales, que luego desarrolló Mandelbrot-

Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo.

Como indica Gleick, aunque Mandelbrot no era físico, ganó el Premio Wolf de física. Y pertenece al «selecto puñado de científicos del siglo XX que cambiaron, como si accionaran un interruptor, la forma en que vemos el mundo en el que vivimos».

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